miércoles, 6 de octubre de 2010

Cuarto Periodo

Actividad No 3 (valor 30%)

Para el 6 de octubre suba 5 ejercicios de aplicaciones a la derivada al blog
•Los Sioguientes ejercicios expuestos aqui son extraidos de la pagina: http://www.scribd.com/doc/6491526/Problemas-Aplicando-Derivada
Donde se encuentran los problemas con la explicacion de como realizarlos.

!). A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16
mts. de altura entra agua a una razón de 50 cm3/seg.
a. ¿A que velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts. de
altura?
b. ¿A que velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?.

Solución.
En la fig. 4.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en
cualquier instante t.



Designese por:
V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instantet (seg.).
x: radio (en cm.) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t.
y: altura del agua (en cm.) en el instante t



El volumen del agua en el instantet viene dado por:


De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

a) Puede formularse la pregunta asi:

Una manera simple de calcular consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t.


De acuerdo a las condiciones del problema:



indicando con esto que la alturacrece a esa velocidad.
b) Puede formularse la pregunta asi:



Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de (3)
con respecto a t.


Indicando con esto que el radiocrece a esta velocidad.
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en (1) en términos
únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t.

2). Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/seg. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de la base del faro?.
Solución:
En la fig. 4.2 (a) aparecen las variables que intervienen en el problema.
x : distancia del bote al pie de la base Pdel faro en cualquier tiempo t.
θ: ángulo formado por la visual y el boteB en cualquier tiempo t.
Nótese que cuando ,

entonces es de esperar que θ también decrece.







De la fig. 4.2 (a) se tiene:



Derivando ambos miembros de (1) con respecto at, se tiene:



De donde,

En el caso particular que interesa, x = 300



Usando la identidad trigonométrica: se puede escribir en este caso:


De otro lado:


Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente:

Lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar) a una velocidad de aprox. 0.0327Rad/seg.