TERCER PERIODO

Sucesiones y Limites

Conseptos:

•Series finitas o infinitas
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

Mayo
Circunferencia
Donde a es el radio, A es el centro y B es un punto de la circunferencia. La distancia entre A y B equivale al radio, ya que el radio es la distancia desde el centro a cualquier punto de la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia es

Ni a ni b pueden ser cero
también esta:
donde h y k es el centro de la circunferencia, ejemplo: si en centro esta en el origen(es cero) h y k serian 0

Conseptos:
Meretriz: Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro o ruficentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirectas de un ángulo. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Baricentro: El baricentro es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados.

Incentro: Incentro se denomina al arco de la circunferencia inscrita en un radio, y equidista de sus tres lados.
Con la mediatriz el circulo es externo, y con la bisectriz es interno.

Mayo
Parábola con el centro en el origen:

Ejemplo
Vertical hacia arriba:
•El origen de 4 p lo podemos deducir de la siguiente gráfica

• Diferenciamos el foco de color morado llamado A, el vértice de color amarillo llamado V y la directriz que es la linea recta que se encuentra en la parte inferior de la parábola de color azul

Mayo
1) Se dispara un proyectil con una velocidad de 40 metros sobre segundos, su distancia después de t segundos esta dada por la ecuación:

a)¿Cual es la velocidad del proyectil en t=2, t=3 y t=4?
b)¿En que momento alcanza la altura máxima?
c)¿Cual es la distancia desde donde disparo hasta donde llego la bala?
Solución:

a)R/=
•t=2

•t=3

•t=4

Conclusiones: Cuando el tiempo y la distancia aumenta la velocidad disminuye

b) R/=
Punto máximo:

•Alcanza la altura máxima cuando el proyectil va en el punto (4.4;88.8) del plano cartesiano

c)R/=

R/=La distancia recorrida desde donde disparo hasta donde llego la bala es de 8.88 metros

2) Un atleta corre los 100 metros planos de manera que la distancia
Calcule la velocidad del corredor a los 5 seg y la velocidad al llegar a la meta
solución:
Velocidad a a los 3 seg:

Velocidad a los 5 seg:

velocidad a los 100 metros:

Abril
Función cúbica
Análisis de la ecuación:
Características:
•Cuando todos sus valores son = 1 se forman dos semiparabolas, una abre hacia arriba en el cuadrante uno y la otra abre hacia abajo en el cuadrante tres.

•Cuando la a es igual a cero la gráfica se convierte en una ecuación cuadrática que nos da una parábola, su formula es:

•cuando la a es negativa se forman unas semiparabolas que van del cuadrante dos que abre hacia arriba y otra que empieza en el cuadrante uno en el punto (0,-1) y después pasa al cuarto:

•La d, la c y la b funcionan igual que en la parábola, la b y la c determinan la inclinación y la curvatura de las semiparabolas y la d es el punto de corte en el eje y en el cual se unen las semiparabolas.
•a=1 •b=5 •c=5 •d=2

Abril

Temas:
•Funciones trigonométricas
•Función a trazos
•Función cuadrática
•Función exponencial
•Función irracional
•Función racional
•Función logaritmica
•Función de proporcionalidad

Función parabólica
Análisis del movimiento de un proyectil:
un proyectil es disparado desde un acantilado a 500 pies por encima del agua con una inclinación de 45º respecto a la horizontal, la velocidad del disparo es de 400 pies/segundo la altura h por encima del agua esta dada por:

Donde x es la distancia horizontal del proyectil desde la base del acantilado.
a). Encontrar la h máx del proyectil
b). ¿A que distancia desde la base del acantilado chocara el proyectil con el agua?
c).hacer la gráfica del proyectil disparado.

Solución:
a). la altura máxima del proyectil esta dada por una ecuación cuadrática:

•el valor máximo de h se obtiene con la formula del vértice así:



b). El proyectil chocara con el agua cuando su altura sea 0, para hallar la distancia solucionaremos primero la ecuación:

utilizaremos la formula del discriminante:

la ecuación tiene dos soluciones entonces aplicaremos la formula del bachiller:

Desechamos el resultado negativo y encontramos que el proyectil chocara con el agua a una distancia de 5458 pies a partir de la base del acantilado.

c).La gráfica se hace teniendo en cuenta la trayectoria que tiene el proyectil tomando el punto de la base del acantilado, el punto máximo y el punto en el que chocara con el agua:


Función cuadrática:
Ecuación:

a
si la vale 0 es una linea recta
si a es negativa la parábola abre hacia abajo
si la a aumenta la parábola se abre
si la a disminuye la parábola se angosta
si la "a" es positiva la parábola abre hacia arriba
si la "a" es negativa la parábola abre hacia abajo
b
la b es el movimiento de la parábola en el eje x si la b es 0
si la b es 0 coincide con el punto de corte en el eje y, y c es el vértice
si la b es positiva la parábola tira a la derecha, si es negativa tira a la izquierda
c
c es el movimiento de la parábola en el eje y
si es positiva tiende a la y positiva y si es negativa a la y negativa

Consulta:
Directriz: la directriz de una parábola es la recta fija que, junto con el foco, sirve para determinarla.
Foco: El foco de la parábola es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.
Vértice: Punto de una curva en el que la curvatura es máxima o mínima: una parábola solo tiene un vértice.
Linea secante: es una línea que intersecta dos o más puntos de una curva. (Viene del Latín secare "cortar")
Linea tangente: Es una línea que apenas toca a una curva en un punto, sin cortarla.
Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.
Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.
-ejemplo de rango y dominio: Si a la función f(x) = x² se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces {1,2,3,...} es el dominio el y el rango será {1,4,9,...}
Función uno a uno: Una función f con dominio A y recorrido B es una función uno a uno
(o inyectiva)si siempre que en A se tiene que en B; en otras palabras, a elementos distintos del dominio le corresponden imagenes distintas en el recorrido. Gráficamente una función es inyectiva si solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.
Función creciente: Una función es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo se cumple que si X₁ < X₂ entonces f(X₁) <>2)
Función decreciente: Una función es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo se cumple que si X₁ < X₂ entonces f(X₁) > f(X₂)
Función definida por partes: Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.

SEGUNDO PERIODO

Abril
Funciones
Sirven para calñcular fuerzas, volumenes, formas que lleban distintos objetos, cosas o fenomenos cientificos o fisicos.
La representacion de una funcion es f(x), quiere decir elementos que se toman en x y f(y) cuando los elementos se toman en y.
Repaso:
•Graficar:

Conclusiones:
•Cuando la x esta elevada a 5 en la funcion, hay dos semiparabolas, van en el cuadrante I y III, en froma vertical abriendo hacia arriba la del cuadrante I y hacia abajo la del cuadrante III
•Los numeros de los valores en y positivos son los inversos de los valores de y negativos.























Conclusiones:
•Cuando la funcion es de la raiz cubica de x, hay dos semiparabolas, y va del cuadrante I al III, en froma horizontal, abriendo hacia la derecha en el cuadrante I y hacia la izquierda en el cuadrante III

•Los numeros de los valores en y positivos son los inversos de los valores de y negativos.

Conclusiones:
•Cuando la cuando la funcion es la rais octava de x, nos da la grafica del dominio(valores en posibles en x) en el cuadrante I y se remonta en el eje Y hasta llegar a cero.
•No hay valores para cuando los valores x son negativos porque no hay radicales de numeros negativos.