Powered By Blogger

miércoles, 6 de octubre de 2010

Cuarto Periodo

Actividad No 3 (valor 30%)

Para el 6 de octubre suba 5 ejercicios de aplicaciones a la derivada al blog
•Los Sioguientes ejercicios expuestos aqui son extraidos de la pagina: http://www.scribd.com/doc/6491526/Problemas-Aplicando-Derivada
Donde se encuentran los problemas con la explicacion de como realizarlos.

!). A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16
mts. de altura entra agua a una razón de 50 cm3/seg.
a. ¿A que velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts. de
altura?
b. ¿A que velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?.

Solución.
En la fig. 4.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en
cualquier instante t.



Designese por:
V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instantet (seg.).
x: radio (en cm.) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t.
y: altura del agua (en cm.) en el instante t



El volumen del agua en el instantet viene dado por:


De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

a) Puede formularse la pregunta asi:

Una manera simple de calcular consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t.


De acuerdo a las condiciones del problema:



indicando con esto que la alturacrece a esa velocidad.
b) Puede formularse la pregunta asi:



Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de (3)
con respecto a t.


Indicando con esto que el radiocrece a esta velocidad.
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en (1) en términos
únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t.

2). Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/seg. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de la base del faro?.
Solución:
En la fig. 4.2 (a) aparecen las variables que intervienen en el problema.
x : distancia del bote al pie de la base Pdel faro en cualquier tiempo t.
θ: ángulo formado por la visual y el boteB en cualquier tiempo t.
Nótese que cuando ,

entonces es de esperar que θ también decrece.







De la fig. 4.2 (a) se tiene:



Derivando ambos miembros de (1) con respecto at, se tiene:



De donde,

En el caso particular que interesa, x = 300



Usando la identidad trigonométrica: se puede escribir en este caso:


De otro lado:


Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente:

Lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar) a una velocidad de aprox. 0.0327Rad/seg.

domingo, 29 de agosto de 2010

TERCER PERIODO

Sucesiones y Limites

Conseptos:

•Series finitas o infinitas
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

jueves, 3 de junio de 2010

Mayo
Circunferencia
Donde a es el radio, A es el centro y B es un punto de la circunferencia. La distancia entre A y B equivale al radio, ya que el radio es la distancia desde el centro a cualquier punto de la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia es

Ni a ni b pueden ser cero
también esta:
donde h y k es el centro de la circunferencia, ejemplo: si en centro esta en el origen(es cero) h y k serian 0

Conseptos:
Meretriz: Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro o ruficentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirectas de un ángulo. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Baricentro: El baricentro es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados.

Incentro: Incentro se denomina al arco de la circunferencia inscrita en un radio, y equidista de sus tres lados.
Con la mediatriz el circulo es externo, y con la bisectriz es interno.
Mayo
Parábola con el centro en el origen:

Ejemplo
Vertical hacia arriba:
•El origen de 4 p lo podemos deducir de la siguiente gráfica

• Diferenciamos el foco de color morado llamado A, el vértice de color amarillo llamado V y la directriz que es la linea recta que se encuentra en la parte inferior de la parábola de color azul

Mayo
1) Se dispara un proyectil con una velocidad de 40 metros sobre segundos, su distancia después de t segundos esta dada por la ecuación:

a)¿Cual es la velocidad del proyectil en t=2, t=3 y t=4?
b)¿En que momento alcanza la altura máxima?
c)¿Cual es la distancia desde donde disparo hasta donde llego la bala?
Solución:

a)R/=
•t=2


•t=3

•t=4

Conclusiones: Cuando el tiempo y la distancia aumenta la velocidad disminuye

b) R/=
Punto máximo:

•Alcanza la altura máxima cuando el proyectil va en el punto (4.4;88.8) del plano cartesiano

c)R/=

R/=La distancia recorrida desde donde disparo hasta donde llego la bala es de 8.88 metros

2) Un atleta corre los 100 metros planos de manera que la distancia
Calcule la velocidad del corredor a los 5 seg y la velocidad al llegar a la meta
solución:
Velocidad a a los 3 seg:

Velocidad a los 5 seg:

velocidad a los 100 metros:

lunes, 31 de mayo de 2010

Abril
Función cúbica
Análisis de la ecuación:
Características:
•Cuando todos sus valores son = 1 se forman dos semiparabolas, una abre hacia arriba en el cuadrante uno y la otra abre hacia abajo en el cuadrante tres.

•Cuando la a es igual a cero la gráfica se convierte en una ecuación cuadrática que nos da una parábola, su formula es:

•cuando la a es negativa se forman unas semiparabolas que van del cuadrante dos que abre hacia arriba y otra que empieza en el cuadrante uno en el punto (0,-1) y después pasa al cuarto:

•La d, la c y la b funcionan igual que en la parábola, la b y la c determinan la inclinación y la curvatura de las semiparabolas y la d es el punto de corte en el eje y en el cual se unen las semiparabolas.
•a=1 •b=5 •c=5 •d=2
Abril


Temas:

•Funciones trigonométricas
•Función a trazos
•Función cuadrática
•Función exponencial
•Función irracional
•Función racional
•Función logaritmica
•Función de proporcionalidad

Función parabólica

Análisis del movimiento de un proyectil:
un proyectil es disparado desde un acantilado a 500 pies por encima del agua con una inclinación de 45º respecto a la horizontal, la velocidad del disparo es de 400 pies/segundo la altura h por encima del agua esta dada por:


Donde x es la distancia horizontal del proyectil desde la base del acantilado.
a). Encontrar la h máx del proyectil
b). ¿A que distancia desde la base del acantilado chocara el proyectil con el agua?
c).hacer la gráfica del proyectil disparado.

Solución:
a). la altura máxima del proyectil esta dada por una ecuación cuadrática:

•el valor máximo de h se obtiene con la formula del vértice así:



b). El proyectil chocara con el agua cuando su altura sea 0, para hallar la distancia solucionaremos primero la ecuación:


utilizaremos la formula del discriminante:


la ecuación tiene dos soluciones entonces aplicaremos la formula del bachiller:

Desechamos el resultado negativo y encontramos que el proyectil chocara con el agua a una distancia de 5458 pies a partir de la base del acantilado.

c).La gráfica se hace teniendo en cuenta la trayectoria que tiene el proyectil tomando el punto de la base del acantilado, el punto máximo y el punto en el que chocara con el agua:


Función cuadrática:
Ecuación:

a
si la vale 0 es una linea recta
si a es negativa la parábola abre hacia abajo
si la a aumenta la parábola se abre
si la a disminuye la parábola se angosta
si la "a" es positiva la parábola abre hacia arriba
si la "a" es negativa la parábola abre hacia abajo
b
la b es el movimiento de la parábola en el eje x si la b es 0
si la b es 0 coincide con el punto de corte en el eje y, y c es el vértice
si la b es positiva la parábola tira a la derecha, si es negativa tira a la izquierda
c
c es el movimiento de la parábola en el eje y
si es positiva tiende a la y positiva y si es negativa a la y negativa

Consulta:
Directriz: la directriz de una parábola es la recta fija que, junto con el foco, sirve para determinarla.
Foco: El foco de la parábola es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.
Vértice: Punto de una curva en el que la curvatura es máxima o mínima: una parábola solo tiene un vértice.
Linea secante: es una línea que intersecta dos o más puntos de una curva. (Viene del Latín secare "cortar")
Linea tangente: Es una línea que apenas toca a una curva en un punto, sin cortarla.
Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.
Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.
-ejemplo de rango y dominio: Si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces {1,2,3,...} es el dominio el y el rango será {1,4,9,...}
Función uno a uno: Una función f con dominio A y recorrido B es una función uno a uno
(o inyectiva)si siempre que
en A se tiene que en B; en otras palabras, a elementos distintos del dominio le corresponden imagenes distintas en el recorrido. Gráficamente una función es inyectiva si solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.
Función creciente: Una función es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo se cumple que si X1 < X2 entonces f(X1) <>2)
Función decreciente:
Una función es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo se cumple que si X1 < X2 entonces f(X1) > f(X2)
Función definida por partes: Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.